Combinatoria I

Introducción a la combinatoria

La combinatoria es la parte de la matemática que nos enseña a contar de cuántas formas se puede hacer algo. Por ejemplo, si Ana y Beto van al cine y compraron dos asientos consecutivos, ¿de cuántas formas se pueden sentar? La respuesta es $2$ ya que se pueden sentar Ana - Beto ó Beto - Ana. Nuevamente, este ejemplo es fácil, pero vamos a ver ideas que sirvan para contar cuántas formas tenemos de hacer algo, cuando las posibilidades son muchas e ir probando una por una sería muy largo.

Problema

Hallar todos los enteros $t$ para los cuales el número $\sqrt{\dfrac{4t-2}{t+5}}$, es racional.

Primos

Sea $p_i$ el $i$-ésimo número primo: $p_1=2$, $p_2=3$, $p_3=5$, $\dots$.
Encuentre todas las parejas de números enteros positivos $a$ y $b$, con $a-b\geq2$ tales que $p_a-p_b$ divide al número entero $2(a-b)$.

Sube y baja

$\begin{array}{|c|c|c|c|c|c|c|c|c|}\hline 15 & \;\; & \;\; & \;\; & \;\; & \;\; & \;\; & \;\; & \;\; \\ \hline \end{array}$

Dora escribe un número en cada casilla del tablero.
En la primera casilla escribe el número $15$. Para completar cada una de las casillas, suma $1$ o resta $1$ al número de la casilla anterior.
¿De cuántas maneras puede completar el tablero para que en la última casilla también quede el número $15$? Explica cómo las contaste.

¿Qué pasó?

Tala de árboles: ¿engaño?

Una empresa maderera obtuvo un contrato para cortar árboles de un bosque, y los ecologistas iniciaron una protesta en su contra. Para evitar las protestas, el gerente de la empresa agregó la siguiente cláusula al contrato:

“En el bosque, el 99% del total de árboles son pinos, y la empresa sólo cortará pinos. Cuando se termine el contrato, el 97% del total de árboles del bosque serán pinos.”

Determinar qué porcentaje del bosque será cortado por la empresa al cumplirse esta cláusula del contrato.

¿Cuánto vale?

¿Cuánto vale la última figura?

[Problema extraído Comunidad Matemática, por J. I. Fuxman]

¿Querés crear un videojuego?

Scratch tiene lo que necesitás si no sabés programar.

Scratch fue creado por el MIT (Massachusetts Institute of Technology) con el fin de que sea una buena introducción en la programación para chicos y grandes.

Es sencillo de usar, lo pueden usar chicos y grandes de todas las edades, y ¡podés crear animaciones copadísimas!
Entrá a http://scratch.mit.edu/, probalo y cualquier cosa ¡preguntame!. Además de todo, ¡es gratis! Te lo recomiendo.

Consultas

¿Tenés que estudiar matemática y no entendés nada? ¿Tenés dudas? ¿Hay algún ejercicio que no te sale o no estás seguro de que lo estés haciendo bien?

Hoy viernes 6/9 de 20 a 21 hs voy a estar online para responderte tus dudas o para darte una mano en lo que no entendés!

¿Qué tenés que hacer? Mandame un mensaje (en la barra de la derecha) con tu mail y te contesto. O directamente mandame un mail a matematicamartin@gmail.com

¡Te espero!

Conjetura de Goldbach

"Todo número par (mayor que 2) se puede escribir como suma de dos números primos"

Parece una frase tan inocente y ¡tan cierta!, pero sin embargo es un problema que todavía no tiene solución dentro del mundo de la matemática, desde hace casi 300 años.

Sin embargo, la conjetura débil de Goldbach establece que "Todo número impar (mayor que 5) se puede escribir como suma de tres números primos".

Se dice que es débil, porque la primera implica esta última. Es decir, si alguien llega a demostrar que la fuerte es cierta, bastaría con sumar 3 a cada número par y sería cierta la conjetura débil.

La conjetura débil de Goldbach fue demostrada por el peruano Harald Helfgott durante este año 2013, resolviendo un problema histórico de la matemática; sin embargo, él asegura que su demostración no sirve de nada para avanzar en la demostración de la conjetura fuerte y, según sus palabras, "no creo que sea resuelto en esta vida".

6º de separación

La hipótesis de los seis grados de separación dice que cualquier persona en el mundo está conectada con cualquier otra persona usando como máximo 5 personas como nexo.

Por ejemplo, vos conocés al director de un colegio. Este director conoce a otro director que sea parte del sindicato. Este director que es parte del sindicato conoce al capo del sindicato. El capo del sindicato conoce al ministro de educación. El ministro de educación conoce a la presidente .

Con tan sólo 4 intermediarios, podrías hacer llegar un mensaje tuyo a la presidente de Argentina. Raro, ¿no?

Más raro aún es que esta hipótesis habla de cualquier persona en el mundo, es decir, que un mensaje tuyo, con a lo sumo 5 intermediarios, podría llegar a todas las personas del mundo.

Podríamos ponerlo en práctica, ¿no?

¿Con qué sigue?

a) 1, 4, 9, 16, ...
b) 5, 14, 23, ...
c) 1, 1, 2, 3, 5, 8, ...
d) 2, 2, 4, 4, 2, 6, 6, 2, 8, 8, ...
e) 20, e, 4, 37, 8, ...

Terna trilliza

Decimos que una terna de números naturales (a,b,c) es trilliza si son todos primos y se cumple que b=a+2 y c=b+2.

Hallar todas las ternas trillizas

Resurrección del blog

Después de mucho tiempo, ¡revive el blog!

Y para volver, elegí un gran problema:

"En el ciruelo había ciruelas. Ciruelas no comí. Ciruelas no dejé. ¿Cuántas ciruelas había en el ciruelo?"

¡Escucho soluciones!

Blanco/Negro & Vida/Muerte

En una prisión están los 1000 presos alineados de menor a mayor todos mirando hacia el frente (el más alto puede ver a todos los de adelante y el más petizo no ve a nadie). Cada uno de los presos tiene puesto un sombrero: blanco o negro. El jefe de la prisión, comenzando por el más alto, pregunta uno a uno qué color de sombrero tiene; en el caso de acertar el preso vive y queda en libertar, caso contrario lo fusilan en el momento.

Demostrar si los presos se pudieron haber puesto de acuerdo formulando una estrategia para que sobrevivan la mayoría de ellos y decir qué cantidad de presos sobrevivirán.

ACLARACIONES:

- Cada preso puede ver todos los sombreros de los que tiene adelante pero NO el suyo ni los de los presos de atrás.

- El jefe comienza por el último preso y lo único que puede responder cada preso es "blanco" o "negro" y una sola vez.

Problema

• Una Eva charlatana

El criptaritmo que aquí presento (o alfamético, como prefieren llamarlo algunos problemistas) es muy antiguo y de origen desconocido; seguramente sea uno de los mejor construidos. Lo ofrezco aquí con la esperanza de que no sea demasiado conocido de los lectores:

EVE/DID = 0,TALKTALKTALK

Como siempre, letras iguales representan cifras iguales, entre las que puede hallarse el 0. La

fracción EVE/DID ha sido ya simplificada al máximo, o sea, es irreducible. Su desarrollo decimal tiene un período de cuatro cifras. La solución del criptaritmo es única. Para dar con ella, recuérdese que el procedimiento habitual para hallar la fracción generatriz de un decimal periódico puro, cuyo período conste de n cifras, es tomar el bloque periódico y dividirlo por n nueves, simplificando después todo lo posible la fracción así obtenida.

[ Problema extraído de "Circo matemático", de Martín Gardner ]

La solución está al final de la página. A pensar y sin espiar!

Problema mes de Julio

Tenemos 13 bolas aparentemente iguales en forma, tamaño, color, etc., pero nos aseguran que una de ellas pesa diferente a las otras 12, no nos dicen si pesa más o menos. Con una balanza de dos platillos y en tan sólo tres pesadas debemos de localizar esa bola.

Resolución Problema de Junio

Veremos cómo deduciendo lógicamente podemos llegar con certeza a saber que la persona A tiene sobrero negro.

Primero empezamos por C, quien dice que no sabe qué sombrero tiene, por lo que podemos saber que A y B no tienen los dos sombreros blancos (ya que si ve dos blancos, la única posibilidad es que C tenga negro). Por lo tanto, A y B pueden tener:

1] A=blanco B=negro

2]A=negro B=blanco

3]A=negro B=negro

Pasemos a B, quien también dice no conocer el color de su sombrero. En las 3 posiblidades anteriores vemos que si B ve en la cabeza de A un sombrero blanco, sí o sí, B tendría un sombrero negro (en 1] y 2]). Por lo tanto si B ve en la cabeza de A un sombrero negro, tendrá dudas, o mejor dicho, no sabrá si tiene un sombrero blanco (1] y 2]) o un sombrero negro (3]).

Por lo tanto, al llegarle el turno a A, éste puede estar seguro, mediante este procedimiento, de tener en su cabeza un sombrero negro.

Problema mes de Junio

Tres alumnos (A, B y C) están ordenados en fila de menor a mayor por su estatura todos mirando hacia adelante, siendo A el menor y C el mayor (A es el primero de la fila y éste no puede ver a ninguno de los otros dos compañeros)

El profesor dispone de 5 sobreros: 2 blancos y 3 negros; y les coloca uno a cada uno al azar.

Los alumnos no pueden ver su propio sombrero, pero ven los de los que están adelante suyo (NO PUEDEN VER TAMPOCO LOS 2 SOMBREROS QUE SOBRAN)

El profesor pregunta si saben de qué color es su sombrero.

C dice que no sabe de qué color es, luego B dice que tampoco puede saberlo, pero A por último y luego de escuchar las dos respuestas anteriores dice: "Yo sé de qué color es mi sombrero!".

¿ Cómo puede estar seguro A del color de sobrero que tiene puesto?

¿ De qué color es el sobrero de A?

Resolución problema mes de mayo

A continuación hay una posible solución, para ciertos casos puede ser que haya más de una solución, las encontraste?

( 1 + 1 + 1 ) ! = 3 ! = 3 * 2 * 1 = 6

2 + 2 + 2 = 6

3 * 3 - 3 = 9 - 3 = 6

raíz cuadrada de 4 + raíz cuadrada de 4 + raíz cuadrada de 4 = 2 + 2 + 2 =6

5 / 5 + 5 = 1 + 5 = 6

6 * 6 / 6 = 36 / 6 = 6

7 - 7 / 7 = 7 - 1 = 6

raíz cúbica de 8 + raíz cúbica de 8 + raíz cúbica de 8 = 2 + 2 + 2 = 6

raíz cuadrada de 9 * raíz cuadrada de 9 - raíz cuadrada de 9 = 3 * 3 - 3 = 9 - 3 = 6