Blanco/Negro & Vida/Muerte

En una prisión están los 1000 presos alineados de menor a mayor todos mirando hacia el frente (el más alto puede ver a todos los de adelante y el más petizo no ve a nadie). Cada uno de los presos tiene puesto un sombrero: blanco o negro. El jefe de la prisión, comenzando por el más alto, pregunta uno a uno qué color de sombrero tiene; en el caso de acertar el preso vive y queda en libertar, caso contrario lo fusilan en el momento.

Demostrar si los presos se pudieron haber puesto de acuerdo formulando una estrategia para que sobrevivan la mayoría de ellos y decir qué cantidad de presos sobrevivirán.

ACLARACIONES:

- Cada preso puede ver todos los sombreros de los que tiene adelante pero NO el suyo ni los de los presos de atrás.

- El jefe comienza por el último preso y lo único que puede responder cada preso es "blanco" o "negro" y una sola vez.

Problema

• Una Eva charlatana

El criptaritmo que aquí presento (o alfamético, como prefieren llamarlo algunos problemistas) es muy antiguo y de origen desconocido; seguramente sea uno de los mejor construidos. Lo ofrezco aquí con la esperanza de que no sea demasiado conocido de los lectores:

EVE/DID = 0,TALKTALKTALK

Como siempre, letras iguales representan cifras iguales, entre las que puede hallarse el 0. La

fracción EVE/DID ha sido ya simplificada al máximo, o sea, es irreducible. Su desarrollo decimal tiene un período de cuatro cifras. La solución del criptaritmo es única. Para dar con ella, recuérdese que el procedimiento habitual para hallar la fracción generatriz de un decimal periódico puro, cuyo período conste de n cifras, es tomar el bloque periódico y dividirlo por n nueves, simplificando después todo lo posible la fracción así obtenida.

[ Problema extraído de "Circo matemático", de Martín Gardner ]

La solución está al final de la página. A pensar y sin espiar!

Problema mes de Julio

Tenemos 13 bolas aparentemente iguales en forma, tamaño, color, etc., pero nos aseguran que una de ellas pesa diferente a las otras 12, no nos dicen si pesa más o menos. Con una balanza de dos platillos y en tan sólo tres pesadas debemos de localizar esa bola.

Resolución Problema de Junio

Veremos cómo deduciendo lógicamente podemos llegar con certeza a saber que la persona A tiene sobrero negro.

Primero empezamos por C, quien dice que no sabe qué sombrero tiene, por lo que podemos saber que A y B no tienen los dos sombreros blancos (ya que si ve dos blancos, la única posibilidad es que C tenga negro). Por lo tanto, A y B pueden tener:

1] A=blanco B=negro

2]A=negro B=blanco

3]A=negro B=negro

Pasemos a B, quien también dice no conocer el color de su sombrero. En las 3 posiblidades anteriores vemos que si B ve en la cabeza de A un sombrero blanco, sí o sí, B tendría un sombrero negro (en 1] y 2]). Por lo tanto si B ve en la cabeza de A un sombrero negro, tendrá dudas, o mejor dicho, no sabrá si tiene un sombrero blanco (1] y 2]) o un sombrero negro (3]).

Por lo tanto, al llegarle el turno a A, éste puede estar seguro, mediante este procedimiento, de tener en su cabeza un sombrero negro.

Problema mes de Junio

Tres alumnos (A, B y C) están ordenados en fila de menor a mayor por su estatura todos mirando hacia adelante, siendo A el menor y C el mayor (A es el primero de la fila y éste no puede ver a ninguno de los otros dos compañeros)

El profesor dispone de 5 sobreros: 2 blancos y 3 negros; y les coloca uno a cada uno al azar.

Los alumnos no pueden ver su propio sombrero, pero ven los de los que están adelante suyo (NO PUEDEN VER TAMPOCO LOS 2 SOMBREROS QUE SOBRAN)

El profesor pregunta si saben de qué color es su sombrero.

C dice que no sabe de qué color es, luego B dice que tampoco puede saberlo, pero A por último y luego de escuchar las dos respuestas anteriores dice: "Yo sé de qué color es mi sombrero!".

¿ Cómo puede estar seguro A del color de sobrero que tiene puesto?

¿ De qué color es el sobrero de A?

Resolución problema mes de mayo

A continuación hay una posible solución, para ciertos casos puede ser que haya más de una solución, las encontraste?

( 1 + 1 + 1 ) ! = 3 ! = 3 * 2 * 1 = 6

2 + 2 + 2 = 6

3 * 3 - 3 = 9 - 3 = 6

raíz cuadrada de 4 + raíz cuadrada de 4 + raíz cuadrada de 4 = 2 + 2 + 2 =6

5 / 5 + 5 = 1 + 5 = 6

6 * 6 / 6 = 36 / 6 = 6

7 - 7 / 7 = 7 - 1 = 6

raíz cúbica de 8 + raíz cúbica de 8 + raíz cúbica de 8 = 2 + 2 + 2 = 6

raíz cuadrada de 9 * raíz cuadrada de 9 - raíz cuadrada de 9 = 3 * 3 - 3 = 9 - 3 = 6

Problema mes Mayo

Considerando:

1__1__1=6

2__2__2=6

3__3__3=6

4__4__4=6

5__5__5=6

6__6__6=6

7__7__7=6

8__8__8=6

9__9__9=6

Realizar todas las operaciones necesarias para llegar al resultado 6 en todos los casos.

ACLARACIÓN:

a) Se tienen que usar los 3 dígitos

b) No se pueden juntar, es decir, no se puede usar el 11 o el 44, sino que se usan cada dígito por separado

UNA PISTA! => 2 + 2 +2 = 6 !!

Resolución Problema del mes de Marzo I :

Enunciado:

P = (1/2)^0 + (1/2)^1 + (1/2)^2 + .... + (1/2)^n

cuando n tiende a infinito.

Hallar el valor de P.

ACLARACIÓN: la forma "m^r" significa m elevado a la potencia r.

Resolución:

Sea P la serie geométrica de razón (1/2) y a=1.

Se sabe que: S = [a*(1-r^n)]/(1-r) por definición.

Lo único que queda por hacer es demostrar que r^n tiende a 0, lo cuál simplificaría la ecuación a S = a / (1-r).

r^n tiende a cero debido a que (1/2)^n sería 1^n/2^n, 1 elevado a cualquier potencia da 1, y 2 elevado a la n tendería a + infinito, por lo que 1/2^n tendería a 0.

De esta manera la serie se resume a S= a / (1-r), reemplazando los datos que sabemos:

S = 1 / ( 1 - 1/2 )

S = 1 / (1/2)

S = 1 * 2

S = 2

Por lo que S = P = 2.

Resolución problema del mes de Febrero:

Enunciado:

Ciruelas había en el ciruelo. Ciruelas no comí. Ciruelas no dejé. ¿Cuántas ciruelas había en el ciruelo?.

Resolución:

Sin lugar a dudas al ver este problema la primera impresión es: "No tiene respuesta", pero obviamente tiene un juego de palabras que hay que darse cuenta.

Llamemos:

"X" a la cantidad de ciruelas que había,

"Xc" a la cantidad de ciruelas que comí, y

"Xd" a la cantidad de ciruelas que dejé

Vamos a analizar frase por frase:

a) CIRUELAS HABÍA EN EL CIRUELO = la frase nos habla en plural, por lo que se deduce: X>=2

b) CIRUELAS NO COMÍ = la frase también nos habla en plural, por lo tanto: Xc<2

c) CIRUELAS NO DEjÉ = la frase nos habla en plural, entonces: Xd<2

en b) y c) sabemos que las opciones son 1 y 0 en ambos casos. Vamos a probar todas las posibilidades:

I) en B) Si Xc=0 quiere decir que X=Xd, absurdo.

Si xc=1 quiere decir que Xd=1 ó Xd=0, y X=2 ó X=1, respectivamente. El caso de que X=1 es absurdo por lo que la única posibilidad es que X=2.

Resolución del problema de Enero:

Enunciado:

En un tablero de ajedrez de 3x3 casillas como el de la figura hay dos caballos blancos en las esquinas superiores y dos caballos negros en las esquinas inferiores. Decidir la mínima cantidad de movimientos necesarios para poder llevar los caballos blancos a las esquinas inferiores y los negros a las esquinas superiores. ACLARACIONES: Los caballos se mueven con los movimientos del ajedrez. En cada movimiento se mueve un solo caballo. No se pueden mover dos caballos a la vez. No se pueden superponer en una misma casilla dos o más caballos.

Resolución:

Al analizar el tablero se ve que a la casilla central es imposible llegar con cualquier movimiento por lo que se anularía del tablero. Tomamos como punto de partida el caballo blanco de la esquina superior izquierda, y de ahí en mas empezamos a numerar las casillas como muestra la figura. Notamos que siempre va a haber dos movimientos posibles, uno va a ser la casilla anterior (que ya está numerada) y otro la casilla posterior, que es en la que seguiremos la cuenta.

Al llegar a la casilla número 8, y última, notamos que también tenemos dos movimientos posibles: uno que va a ser hacia la casilla número 7 y otro hacia la número 1, es decir podemos deducir que el movimiento de un caballo puede ser cíclico. O sea, siguiendo un mismo recorrido puede atravesar el tablero infinitas veces sin parar. Sabiendo que en cada movimiento se puede mover un sólo caballo y que nunca se pueden superponer en una misma casilla 2 o más caballos, deducimos que se tendrá que mover un caballo por vez y al llegar al cuarto caballo, tendrá que volver a moverse el primero. O sea que el movimiento de los 4 caballos también es cíclico por lo que el problema se puede simplificar a una simple circunferencia con 8 puntos como la de la figura.

Hay caballos blancos en las casillas 1 y 7, y caballos negros en las casillas 3 y 5. Para cumplir el objetivo hay que llevar el caballo de la casilla número 1 a la 5, el de la 7 a la 3, el de la 3 a la 7 y el de la casilla número 5 a la 1. Por lo tanto son 4 movimientos por cada caballo, a 4 caballos, son 16 movimientos la cantidad mínima que se necesita para poder llevar los caballos de las esquinas superiores a las inferiores y viceversa.