Resolución Problema del mes de Marzo I :

Enunciado:

P = (1/2)^0 + (1/2)^1 + (1/2)^2 + .... + (1/2)^n

cuando n tiende a infinito.

Hallar el valor de P.

ACLARACIÓN: la forma "m^r" significa m elevado a la potencia r.

Resolución:

Sea P la serie geométrica de razón (1/2) y a=1.

Se sabe que: S = [a*(1-r^n)]/(1-r) por definición.

Lo único que queda por hacer es demostrar que r^n tiende a 0, lo cuál simplificaría la ecuación a S = a / (1-r).

r^n tiende a cero debido a que (1/2)^n sería 1^n/2^n, 1 elevado a cualquier potencia da 1, y 2 elevado a la n tendería a + infinito, por lo que 1/2^n tendería a 0.

De esta manera la serie se resume a S= a / (1-r), reemplazando los datos que sabemos:

S = 1 / ( 1 - 1/2 )

S = 1 / (1/2)

S = 1 * 2

S = 2

Por lo que S = P = 2.