Combinatoria I

Introducción a la combinatoria

La combinatoria es la parte de la matemática que nos enseña a contar de cuántas formas se puede hacer algo. Por ejemplo, si Ana y Beto van al cine y compraron dos asientos consecutivos, ¿de cuántas formas se pueden sentar? La respuesta es $2$ ya que se pueden sentar Ana - Beto ó Beto - Ana. Nuevamente, este ejemplo es fácil, pero vamos a ver ideas que sirvan para contar cuántas formas tenemos de hacer algo, cuando las posibilidades son muchas e ir probando una por una sería muy largo.

Problema

Hallar todos los enteros $t$ para los cuales el número $\sqrt{\dfrac{4t-2}{t+5}}$, es racional.

Primos

Sea $p_i$ el $i$-ésimo número primo: $p_1=2$, $p_2=3$, $p_3=5$, $\dots$.
Encuentre todas las parejas de números enteros positivos $a$ y $b$, con $a-b\geq2$ tales que $p_a-p_b$ divide al número entero $2(a-b)$.

Sube y baja

$\begin{array}{|c|c|c|c|c|c|c|c|c|}\hline 15 & \;\; & \;\; & \;\; & \;\; & \;\; & \;\; & \;\; & \;\; \\ \hline \end{array}$

Dora escribe un número en cada casilla del tablero.
En la primera casilla escribe el número $15$. Para completar cada una de las casillas, suma $1$ o resta $1$ al número de la casilla anterior.
¿De cuántas maneras puede completar el tablero para que en la última casilla también quede el número $15$? Explica cómo las contaste.

¿Qué pasó?

Tala de árboles: ¿engaño?

Una empresa maderera obtuvo un contrato para cortar árboles de un bosque, y los ecologistas iniciaron una protesta en su contra. Para evitar las protestas, el gerente de la empresa agregó la siguiente cláusula al contrato:

“En el bosque, el 99% del total de árboles son pinos, y la empresa sólo cortará pinos. Cuando se termine el contrato, el 97% del total de árboles del bosque serán pinos.”

Determinar qué porcentaje del bosque será cortado por la empresa al cumplirse esta cláusula del contrato.

¿Cuánto vale?

¿Cuánto vale la última figura?

[Problema extraído Comunidad Matemática, por J. I. Fuxman]

¿Querés crear un videojuego?

Scratch tiene lo que necesitás si no sabés programar.

Scratch fue creado por el MIT (Massachusetts Institute of Technology) con el fin de que sea una buena introducción en la programación para chicos y grandes.

Es sencillo de usar, lo pueden usar chicos y grandes de todas las edades, y ¡podés crear animaciones copadísimas!
Entrá a http://scratch.mit.edu/, probalo y cualquier cosa ¡preguntame!. Además de todo, ¡es gratis! Te lo recomiendo.

Consultas

¿Tenés que estudiar matemática y no entendés nada? ¿Tenés dudas? ¿Hay algún ejercicio que no te sale o no estás seguro de que lo estés haciendo bien?

Hoy viernes 6/9 de 20 a 21 hs voy a estar online para responderte tus dudas o para darte una mano en lo que no entendés!

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¡Te espero!

Conjetura de Goldbach

"Todo número par (mayor que 2) se puede escribir como suma de dos números primos"

Parece una frase tan inocente y ¡tan cierta!, pero sin embargo es un problema que todavía no tiene solución dentro del mundo de la matemática, desde hace casi 300 años.

Sin embargo, la conjetura débil de Goldbach establece que "Todo número impar (mayor que 5) se puede escribir como suma de tres números primos".

Se dice que es débil, porque la primera implica esta última. Es decir, si alguien llega a demostrar que la fuerte es cierta, bastaría con sumar 3 a cada número par y sería cierta la conjetura débil.

La conjetura débil de Goldbach fue demostrada por el peruano Harald Helfgott durante este año 2013, resolviendo un problema histórico de la matemática; sin embargo, él asegura que su demostración no sirve de nada para avanzar en la demostración de la conjetura fuerte y, según sus palabras, "no creo que sea resuelto en esta vida".

6º de separación

La hipótesis de los seis grados de separación dice que cualquier persona en el mundo está conectada con cualquier otra persona usando como máximo 5 personas como nexo.

Por ejemplo, vos conocés al director de un colegio. Este director conoce a otro director que sea parte del sindicato. Este director que es parte del sindicato conoce al capo del sindicato. El capo del sindicato conoce al ministro de educación. El ministro de educación conoce a la presidente .

Con tan sólo 4 intermediarios, podrías hacer llegar un mensaje tuyo a la presidente de Argentina. Raro, ¿no?

Más raro aún es que esta hipótesis habla de cualquier persona en el mundo, es decir, que un mensaje tuyo, con a lo sumo 5 intermediarios, podría llegar a todas las personas del mundo.

Podríamos ponerlo en práctica, ¿no?

¿Con qué sigue?

a) 1, 4, 9, 16, ...
b) 5, 14, 23, ...
c) 1, 1, 2, 3, 5, 8, ...
d) 2, 2, 4, 4, 2, 6, 6, 2, 8, 8, ...
e) 20, e, 4, 37, 8, ...

Terna trilliza

Decimos que una terna de números naturales (a,b,c) es trilliza si son todos primos y se cumple que b=a+2 y c=b+2.

Hallar todas las ternas trillizas

Resurrección del blog

Después de mucho tiempo, ¡revive el blog!

Y para volver, elegí un gran problema:

"En el ciruelo había ciruelas. Ciruelas no comí. Ciruelas no dejé. ¿Cuántas ciruelas había en el ciruelo?"

¡Escucho soluciones!