Atando a la Tierra

Supongamos que atamos a la Tierra con una soga a lo largo del Ecuador. Luego, le agregamos a la soga un metro más de soga y, ya la soga no queda atando a la Tierra, sino que queda orbitando (como los anillos de Saturno). De esta manera, queda un espacio libre entre la soga y la Tierra. ¿Pasará por ese espacio una pelota de ping pong? ¿Y una de tenis? ¿Y una de fútbol?

Mirá, y te vas a sorprender:

Supongamos que el radio de la tierra es $R$ (medido en metros). Entonces la soga inicial mide $\pi \cdot 2 \cdot R$, porque mide exactamente el perímetro de la circunferencia que forma la esfera que es la Tierra (supongamos que es exactamente una esfera).

Al agregarle un metro a la soga, ahora mide $\pi \cdot 2 \cdot R+1$ metros, que "tiene sentido" porque $R$ también está medido en metros. Esta nueva soga va a ser el perímetro de una nueva circunferencia, de radio $\hat{R}$. Y precisamente lo que nos plantea el problema es ver qué tan grande es la diferencia de los radios, o sea qué tan grande es $\hat{R}-R$. Planteemos lo que sabemos:

$\pi \cdot 2 \cdot R+1=\pi \cdot 2 \cdot \hat{R} \to 1=\pi \cdot 2 \cdot \hat{R}-\pi \cdot 2 \cdot R$ $\to 1=\pi \cdot 2 \cdot (\hat{R}-R) \to \dfrac{1}{2 \cdot \pi}= \hat{R}-R$.

Y esto quiere decir, ¡que la distancia no depende de los radios que elijamos! Es decir, el problema podría haber sido tanto con el planeta Tierra, como con una esfera mucho más chiquita, y al agregarle un metro a la soga inicial, la distancia - el hueco que quede - va a ser constante.

Aproximadamente $\dfrac{1}{2 \cdot \pi}=0,16m=16cm$. Por lo tanto, pasa una pelota de ping pong, una de tenis, y tal vez, una de fútbol chica.